แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการใช้ไฟฟ้ากระแสตรงสำรวจพื้นดินที่มีสภาพนำไฟฟ้าแบบนูน

Abstract

วิทยานิพนธ์ฉบับนี้ได้นำเสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โดยวัตถุประสงค์หลักของการศึกษาคือการสำรวจสภาพนำไฟฟ้าของโครงสร้างพื้นดิน ซึ่งแบบจำลองแรกที่ศึกษาเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวิธีการต้านทานซึ่งถูกดำเนินการด้วยระเบียบวิธีเชิงตัวเลขไฟไนต์เอลิเมนต์เพื่อแสดงศักย์ไฟฟ้าใต้พื้นดิน ผลของศักย์ไฟฟ้าที่ได้ถูกนำไปวาดเป็นเส้นกราฟแสดงพฤติกรรมของค่าศักย์ไฟฟ้าที่หาได้ รูปแบบโครงสร้างพื้นดินที่ศึกษาเป็นพื้นดินหนึ่งชั้นที่มีรูปแบบของสภาพนำไฟฟ้าเป็นแบบเอกซ์โพเนนเชียล ซึ่งกำหนดโดย [over](z) =  [0]e^(-b((z-1)^2)/2) เมื่อ b และ l เป็ นค่าคงตัวบวก และ l ใช้แทนต าแหน่งที่สภาพน าไฟฟ้ ามีค่าสูงสุด, z แทนความลึกของพื้นดิน และ 0  เป็ นค่าคงตัวบวก กำหนดจุดสี่จุดเป็นจุดสำรวจบนพื้นดิน สองในสี่จุดนั้นเป็น จุดที่ปล่อยไฟฟ้ากระแสตรงลงสู่พื้นดินและอีกสองจุดที่เหลือซึ่งอยุ่ระหว่างสองจุดแรกใช้สำหรับตรวจวัดแรงดันไฟฟ้า เงื่อนไขขอบเขตถูกกำหนดขึ้นเพื่อนำไปสู่การคำนวณหาศักย์ไฟฟ้าและนำค่าที่ได้มาเขียนกราฟโดยใช้โปรแกรม MATLAB สำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบที่สองเป็นการพิจารณาผลของสภาพต้านทานปรากฎที่ถูกนอมัลไลซ์จากการปล่อยไฟฟ้ากระแสตรงลงไปในพื้นดิน ซึ่งสามารถนำมาใช้ในการสำรวจโครงสร้างพื้นดินของโลกได้ การวิเคราะห์หาคำตอบของสภาพต้านทานปรากฎที่ถูกนอมัลไลซ์ คำนวณจากการปล่อยไฟฟ้ากระแสตรงลงบนพื้นดินที่มีโครงสร้างพื้นดินที่มีรูปแบบโครงสร้างพื้นดินเป็นสองชั้น โดยกำหนดสภาพนา ไฟฟ้าชั้นบนเป็น (สมการ) เมื่อ d แทนความลึกของพื้นดินชั้นบน และสภาพนำไฟฟ้าของชั้นถัดลงไปถูกกำหนดโดยค่าคงตัวให้เป็น (สมการ) การแปลงฮันเกลและวิธีการอนุกรมกำลังสองถูกใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ซึ่งจะได้คำตอบอยู่ในรูปฟังก์ชันของศักย์ไฟฟ้า โดยการคำนวณหาสภาพต้านทานปรากฎที่ถูกนอมัลไลซ์ใช้วิธีการกำหนดค่าตามวิธีการของ Wenner โดยใช้อัลกอริทึมของ Chave คำนวณหาคำตอบเชิงตัวเลขของสภาพต้านทานปรากฎที่ถูกนอมัลไลซ์เมื่อกำหนดค่าของพารามิเตอร์บางค่าในสมการ แล้วนำคำตอบที่คำนวณได้มาเขียนกราฟเพื่ออธิบายพฤติกรรมของสภาพต้านทานปรากฎที่ถูกนอมัลไลซ์ที่ได้ สภาพต้านทานปรากฎที่ถูกนอมัลไลซ์ที่มาจากการคำนวณจะถูกนำมาเขียนกราฟเปรียบเทียบกับระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่ปล่อยไฟฟ้ ากระแสตรง ซึ่งเราใช้วิธีการของนิวตัน-ราฟสัน ในปัญหาย้อนกลับเพื่อหาค่าของพารามิเตอร์ของสภาพนำไฟฟ้าในพื้นดิน ซึ่งเป็นวิธีการที่ประสบความสำเร็จมากและนำไปสู่ผลลัพธ์ของการลู่เข้าของคำตอบอย่างรวดเร็ว สำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบที่สาม เป็นการวิเคราะห์หาคำตอบของการตอบสนองของสนามแม่เหล็กจากการปล่อยไฟฟ้ากระแสตรงลงสู่พื้นดินที่มีโครงสร้างและสภาพนำไฟฟ้าเช่นเดียวกับแบบจำลองที่สอง โดยใช้การแปลงฮันเกลในการแก้ปัญหาสนามแม่เหล็ก ซี่งคำตอบที่ได้จะอยู่ในรูปของอินทิกรัลของฟังก์ชันของสนามแม่เหล็กโดยสามารถคำนวณหาคำตอบเชิงตัวเลขเพื่อนำไปสู่การอธิบายพฤติกรรมของสนามแม่เหล็กเมื่อกำหนดค่าของพารามิเตอร์บางค่าได้ ในขั้นตอนกระบวนการย้อนกลับเราใช้ วิธีการของนิวตัน-ราฟสัน ในการนำไปสู่การประมาณค่าพารามิเตอร์ของสภาพนำไฟฟ้าของพื้นดิน

Mathematical models are presented in this thesis. The main objective of our study is to explore conductivity of the ground structure. The first mathematical model of Resistivity Method is conducted via numerical technique of Finite Element Method to show the scalar potential under the ground. The results of scalar potential are plotted to show behavior of them. The geometric model used is one layer having an exponentially conductivity pro le de ned by over(z) = 0e􀀀b(z􀀀l)2=2 where b and l are positive constants and l is used to located the peak of the bulge, z is the variable of the depth and 0 is a positive constant. Four probes are located on the ground surface. Two of them are direct current source and the another two probes for voltage measurements. The boundary conditions are denoted and the scalar potential are computed and plotted under MathLAB platform. For the second mathematical model, normalized apparent resistivity resulting from the injection of electric current into the ground is considered and can be used to explore the earth's structures. The analytical solution of normalized apparent resistivity from DC source located on a two-layered earth model is formulated. The conductivity of overburden is denoted by over(z) = 0e􀀀b(z􀀀l)2=2; 0 z d; where d is the thickness of overburden. The conductivity of host medium, z > d; is denoted by a constant and is given by host(z) = 0: The Hankel transforms and the power series method are used to solve the partial di erential equation to get the potential functions. The expression for the Wenner con guration is introduced to formulate the normalized apparent resistivity. In order to determine the normalized apparent resistivity, numerical solutions are computed to show the behavior of the curves by using Chave's algorithm while some parameters are given. The computation results of normalized apparent resistivity are plotted against electrode spacing. An inverse problem via the use of the Newton-Raphson in optimization technique is introduced for nding a conductivity parameter of the ground. The method is very successful and leads to very good results with the high speed of convergence. For the same source, di erent technique, analytical solution of magnetic eld response from DC source located on a two-layered uniform conductive host medium, similar to the previous conductivity model, is formulated to be our third mathematical model. The Hankel transforms are introduced to solve the magnetic elds which are expressed in the form of integral expression. In order to determine the magnetic elds, numerical solutions are computed to show the behavior of the eld while some parameters are given. The inversion process, using the Newton- Raphson method, is conducted to estimate the true conductivity variation parameter of the ground.